אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי

המילה סדרה מכילה בתוכה את המילה סדר. בניגוד לקבוצת איברים שבה אין חשיבות לסדר הופעת האיברים, בסדרה של איברים יש חשיבות לסדר הופעת האיברים. בכל סדרה שבה מספר סופי של איברים ישנו האיבר הראשון, ישנו האיבר השני, ישנו האיבר השלישי וכך הלאה עד לאיבר האחרון. 

במרבית המקרים נעסוק בסדרות שבהן יש חוקיות מסוימת במעבר מאיבר לאיבר הבא אחריו, וחוקיות זו תסייע לנו פעמים רבות. יש לזכור כי סדר הופעת האיברים בכל סדרה הינו משמאל לימין.

נתבונן, למשל, בשלוש הסדרות הבאות:

… 6,13,20,27,34,4

… 4,8,16,32,64,128

… 5,7,12,19,31,50,81

בסדרה הראשונה האיבר הראשון הוא 6, האיבר השני הוא 13, האיבר השלישי הוא 20, האיבר הרביעי הוא 27, האיבר החמישי הוא 34, האיבר השישי הוא 41 ושלוש הנקודות מלמדות כי החוקיות נמשכת. בסדרה זו החוקיות היא כי כל איבר (פרט לאיבר הראשון) גדול מהאיבר שלפניו ב- 7.

בסדרה השנייה האיבר הראשון הוא 4, האיבר השני הוא 8, האיבר השלישי הוא 16, האיבר הרביעי הוא 32, האיבר החמישי הוא 64, האיבר השישי הוא 128 ושלוש הנקודות מלמדות כי החוקיות נמשכת. בסדרה זו החוקיות היא כי כל איבר (פרט לאיבר הראשון) גדול מהאיבר שלפניו פי 2.

בסדרה השלישית האיבר הראשון הוא 5, האיבר השני הוא 7, האיבר השלישי הוא 12, האיבר הרביעי הוא 19, האיבר החמישי הוא 31, האיבר השישי הוא 50 ושלוש הנקודות, גם בסדרה זו, מלמדות כי החוקיות נמשכת. בסדרה זו כל איבר (פרט לשני האיברים הראשונים) שווה לסכום של שני האיברים שלפניו.

סדרה סופית – סדרה בה מספר האיברים הוא סופי.

סדרה אין-סופית – סדרה שאינה סופית, כלומר סדרה בה מספר האיברים אינו סופי.

סימון איברים – האיבר הראשון מסומן על-ידי a₁ , האיבר השני מסומן על-ידי a₂ , האיבר השלישי מסומן על-ידי a₃ וכך הלאה. האיבר הכללי, לעתים רבות הוא מכונה גם האיבר הנמצא במקום ה- n , מסומן על-ידי a_n (אם בסדרה יש בדיוק n איברים אז האיבר האחרון בסדרה יסומן על-ידי a_n).

אינדקס – המיקום של כל איבר בסדרה מסומן בדרך-כלל על-ידי מספר או על-ידי אות, ונכתב מצד ימין בקטן לאות a המסמנת את האיבר, נקרא האינדקס של האיבר. דוגמה: האינדקס של a_n+1 הוא n+1 והוא מסמן את המיקום של האיבר בסדרה. במקרה זה, a_n הוא האיבר הקודם לו ו- a_n+2 הוא האיבר העוקב לו.
שימו לב: האינדקס של כל איבר בכל סדרה הינו מספר טבעי בהכרח (מספר טבעי הוא מספר שלם וחיובי).

מאפייני הסדרה והסימונים המקובלים

a₁ – האיבר הראשון / האיבר שהאינדקס שלו הוא 1 / האיבר שמיקומו הסידורי הוא 1.

n – מספר האיברים / האינדקס של איבר כללי / האינדקס של האיבר האחרון אם יש בסדרה n איברים (מספר האיברים בסדרה יכול להיות שונה מ- n).

a_n – האיבר הכללי / האיבר במקום ה- n / האיבר שהאינדקס שלו הוא n / האיבר האחרון אם יש בסדרה n איברים (האינדקס יכול להיות שונה מ- n).

s_n – הסכום של n האיברים הראשונים בסדרה / הסכום של n איברים רצופים בסדרה.

הקשר בין a_n לבין s_n

ההפרש בין סכום n האיברים הראשונים בסדרה לבין n-1 האיברים הראשונים שווה לאיבר הנמצא במקום ה- n בסדרה, בשפה מתמטית: s_n – s_n-1 = a_n לכל n טבעי המקיים n > 1 (נוסחה זו אינה מופיעה בדפי הנוסחאות שיחולקו לכם בעת בחינות הבגרות ולכן עליכם לזכור אותה בעל-פה).

איבר אמצעי או שני איברים אמצעיים

אם מספר האיברים בסדרה הוא זוגי אז כדאי לסמן את מספר האיברים בסדרה על-ידי 2n , ואז יש בסדרה זו שני איברים אמצעיים שמיקומם הסידורי הוא n ו- n+1.
אם מספר האיברים בסדרה הוא אי-זוגי אז כדאי לסמן את מספר האיברים בסדרה על-ידי 2n+1 , ואז יש בסדרה איבר אמצעי שמיקומו הסידורי הוא n.

לחצו כאן להמשך הקריאה >>>